第248章 一不小心装了一下逼（3/3）

通过指数函数的变换和区间的人为构造，将原本看似无关的导数 f'(x) 与给定的正数 a_k 联系起来。

宋璟言的笔迹如行云流水，推导过程严谨而优美。他得到了一个关键的中间等式：

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f'(x_k) e^{f(x_k)} = \frac{A}{a_k} \left( e^{f(t_k)} - e^{f(t_{k-1})} \right)

然而，就在大家以为他要进行复杂求和时，宋璟言做了一个让所有人瞠目结舌的动作。

他停下来，轻轻将半截粉笔放回槽中，拍了拍手上的灰。

“所以，”他转过身，面向众人，语气平淡得像在陈述一个显而易见的事实，

“将上式变形为 \frac{a_k}{f'(x_k)} = A \cdot \frac{ e^{f(t_k)} - e^{f(t_{k-1})} }{ e^{f(x_k)} f'(x_k) } ，然后对 k 从 1 到 n 求和。”

他停顿了一下，目光扫过全场，最终落在老教授震惊的脸上。

“请注意，求和符号 \sum_{k=1}^n ( e^{f(t_k)} - e^{f(t_{k-1})} ) 是一个 telescoping sum（叠缩求和)，它的结果就是 \( e^{f(1)} - e^{f(0)} = e - 1 \。”

“而另一边，通过我们构造的区间和中值点 x_k ，以及 g(x) = e^{f(x)} 的性质，可以证明，整个和式 \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{f'(x_k)} 最终就等于 A ，也就是 \( a_1 + a_2 + \cdots + a_n \。”

“证明完毕。”

教室里瞬间安静的像没有人一样，宋璟言在众人震惊的眼眸中，放下粉笔，冲着教授一笑就准备回座位

“同学，你叫什么名字？”教授实在对宋璟言一点印象也没有，便开口问道

“宋璟言！”

“你是哪个班的？”

宋璟言当着这么多同学撒谎，实在有些不好意思，实话说道：“我是理工大学创新院的！”

这下属实让他装了一波，教授反而释然，没有为难他

“怪不得，原来是理工大学尖子班的学霸，欢迎你来听我的课！”

听课？

他好像一直在睡觉，而且还睡的很香。

宋璟言尴尬的笑了笑：“谢谢老师！”

当老师你没有不